https://script.google.com/macros/s/AKfycbweW3oo6CTajn_KfkPmWfIc6m0beu_KhhqQv2hUIwU/dev
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Se propone 17 problemas como temario para el examen sustitutorio de las cuales solo dos son fijas y tres relativas.
- Demostrar que si $f$ periódica de periodo $2\pi$ si la serie de Fourier de $f$ converge uniformemente a $f$ en $[0,2\pi]$ entonces $$\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}(f(x))^2dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}a_k^2+b_k^2.$$
- Demostrar que si $f$ es una función continua de periodo $2\pi$ y sean $a_k$ y $b_k$ los coeficientes de Fourier de $f$. Entonces para cualquier entero positivo $n$ $$\frac{a_0^2}{2}+\sum_{k=1}^na_k^2+b_k^2\leq\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}(f(x))^2dx.$$
- Sea $f$ es una función periódica de periodo $T$. Si $S_k(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^k\left(a_n\cos\frac{2\pi x}{T}+b_n\sin\frac{2\pi x}{T}\right)$, la suma de los $k+1$ terminos de la serie de Fourier de $f(t)$ entonces $$ S_k(t)=\frac{1}{2T}\int_{-T}^Tf(z)\frac{\sin(k+0.5)(z-t)}{\sin\frac{\pi }{2T}(z-t)}.$$
- Calcular la serie de Fourier de $f(t)=e^{at}$ en $-\pi\leq t\leq\pi$, use este resultado para calcular la suma de la serie $\sum_{n=1}^\infty \frac{a^2}{a^2+n^2}$.
- Si $f(t)=t^4$, $-\pi\leq t\leq \pi$, halle la serie de Fourier de $f(t)$ y calcule la suma de la serie $\sum_{n=1}^\infty\frac{(\pi^2-\frac{6}{n^2})^2}{n^4}$ y graficar la función.
- Demuestre que si $$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$$ es una ecuación homogénea, entonces tiene a $$\mu(x,y)=\frac{1}{xM(x,y)+yM(x,y)}$$ es un factor integrante
- La ecuación $\frac{dy}{dx}=q_1(x)+q_2(x)y+q_3(x)y^2$ la ecuación de Riccati. Suponga que se conoce alguna solución particular $y_1$ de esta ecuación. Puede obtenerse una solución mas general conteniendo una constante arbitraria, sustitución $$y=y_1+\frac{1}{v(x)}.$$ Demuestre que $v(x)$ satisface la ecuación lineal de primer orden $$\frac{dy}{dx}=-(q_2+2q_3y_1)v-q_3.$$
- Sea la ecuación de Riccati $\frac{dw}{dx}=q_1(x)+q_2(x)w+q_3(x)w^2$. Demuestre que la transformación $w=-y'/yq_2$ conduce a la ecuación lineal homogénea de segundo orden $$q_2(x)y''-[q_2'(x)+q_1(x)]y'+q_2'(x)q_0(x)y=0.$$
- Demuestre que la la solución general de $$y''+y=0$$ se puede expresar como $y=A_1\cos(x+\delta_1)$ o como $y=A_2\sin(x+\delta_2)$ donde $A_1$, $A_2$, $\delta_1$ y $\delta_2$ son constantes.
- Sea la EDO $P(D)y=\cosh(ax)$ y $P(D)y=\sinh(ax)$ demostrar que $\frac{1}{P(D)}\cosh(ax)=\frac{P(-D)}{P(a)\cdot P(a)}\cosh(ax)$ y $\frac{1}{P(D)}\sinh(ax)=\frac{P(-D)}{P(a)\cdot P(a)}\sinh(ax)$ son soluciones respectivamente
- Sea la EDO $P(D)y=\cos(ax)$ y $P(D)y=\sin(ax)$ demostrar que $\frac{1}{(D^2+a^2)^n}\cos(ax)=\frac{x^n}{(2a)^nn!}\cos(ax-\frac{n\pi}{2})$ y $\frac{1}{(D^2+a^2)^n}\sin(ax)=\frac{x^n}{(2a)^nn!}\sin(ax-\frac{n\pi}{2})$ son soluciones respectivamente.
- Resuelva las EDOS mediante operadores diferenciales $(D^2-6D^2+9)y=2xe^{3x}+9x^2-3$ y $(D^3-6D^2+9D)y=x^3+e^x$.
- Demuestre que si $$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$$ es una ecuación homogénea, entonces tiene a $$\mu(x,y)=\frac{1}{xM(x,y)+yM(x,y)}$$ es un factor integrante.
- Considere la ecuación diferencial lineal no homogénea de $n$-esimo orden $$a_0y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\ldots+a_ny=g(x)$$ donde $a_0,a_1,\ldots a_n$ son constantes. Verifique que si $g(x)$ es de la forma $e^{\alpha x}(b_0x^m+\ldots +b_m)$ entonces la sustitución $y=e^{\alpha x}u(x)$ reduce la ecuacion anterior a la forma $$t_0u^{(n)}+t_1u^{(n-1)}+\ldots +t_nu=b_0x^m+\ldots +b_m,$$ donde $t_1,t_2,\ldots t_n$ son constantes.
- Suponga que la función $f$ esta dada por $$f(x) =\begin{cases}x, & \text{si $0\leq x<1$} \\1, & \text{si $t>1$}\end{cases}$$ a) encuentre $L[f]$. b) Resuelva el problema de valor inicial $y''+4y=f(x)$, $y(0)=0$, $y'(0)=1$.
- Determine la solución general de la ecuación $$y''+\lambda^2y=\sum_{m=1}^Na_m\sin m\pi x$$ donde $\lambda>0$ y $\lambda\neq m\pi,$ $m=1,2,\ldots, N$
- Resuelva mediante Laplace las siguientes ecuaciones con condiciones iniciales
- $y''-2y'+5y=0$, $y(0)=2,$ $y'(0)=4$.
- $3y'''+5y''+y'-y=0,$ $y(0)=0,$ $y'(0)=1,$ $y''(0)=-1$.
- $y''-5y'-6y'=e^{3x},$ $y(0)=2,$ $y'(0)=1$.
- $y''-y'-2y=5\sin x,$ $y(0)=1,$ $y'(0)=-1$.
- $y'''-2y''+y'=2e^{x}+2x,$ $y(0)=0,$ $y'(0)=0$ $y''(0)=0$.
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