Sustitutorio IC

1) El número de estrellas de los hoteles de una ciudad viene dado por la siguiente serie: 3, 3, 4, 3, 4, 3, 1, 3, 4, 3, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 1. Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el diagrama de barras. 2) Clasificar las siguientes variables en cualitativas o cuantitativas, y en discretas o continuas a. La nacionalidad de una persona. b. Número de litros de agua contenidos en un depósito. c. Número de libros en un estante de librería. d. Suma de puntos tenidos en el lanzamiento de un par de dados. e. La profesión de una persona. f. El área de las distintas baldosas de un edificio. 3) Hallar la varianza y la desviación típica de la siguiente serie de datos: 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.

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Se propone 17 problemas como temario para el examen sustitutorio de las cuales solo dos son fijas y tres relativas.

1. Demostrar que si $f$ periódica de periodo $2\pi$ si la serie de Fourier de $f$ converge uniformemente a $f$ en $[0,2\pi]$ entonces $$\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}(f(x))^2dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}a_k^2+b_k^2.$$
2. Demostrar que si $f$ es una función continua de periodo $2\pi$ y sean $a_k$ y $b_k$ los coeficientes de Fourier  de $f$. Entonces para cualquier entero positivo $n$ $$\frac{a_0^2}{2}+\sum_{k=1}^na_k^2+b_k^2\leq\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}(f(x))^2dx.$$
3. Sea $f$ es una función periódica de periodo $T$. Si $S_k(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^k\left(a_n\cos\frac{2\pi x}{T}+b_n\sin\frac{2\pi x}{T}\right)$, la suma de los $k+1$  terminos de la serie de Fourier de $f(t)$ entonces $$S_k(t)=\frac{1}{2T}\int_{-T}^Tf(z)\frac{\sin(k+0.5)(z-t)}{\sin\frac{\pi }{2T}(z-t)}.$$
4. Calcular la serie de Fourier de $f(t)=e^{at}$ en $-\pi\leq t\leq\pi$, use este resultado para calcular la suma de la serie $\sum_{n=1}^\infty \frac{a^2}{a^2+n^2}$.
5. Si $f(t)=t^4$, $-\pi\leq t\leq \pi$, halle la serie de Fourier de $f(t)$ y calcule la suma de la serie $\sum_{n=1}^\infty\frac{(\pi^2-\frac{6}{n^2})^2}{n^4}$ y graficar la función.
6. Demuestre que si $$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$$ es una ecuación homogénea, entonces tiene a $$\mu(x,y)=\frac{1}{xM(x,y)+yM(x,y)}$$ es un factor integrante
7. La ecuación $\frac{dy}{dx}=q_1(x)+q_2(x)y+q_3(x)y^2$ la ecuación de Riccati. Suponga que se conoce alguna solución particular $y_1$ de esta ecuación. Puede obtenerse una solución mas general conteniendo una constante arbitraria, sustitución $$y=y_1+\frac{1}{v(x)}.$$ Demuestre que $v(x)$ satisface la ecuación lineal de primer orden $$\frac{dy}{dx}=-(q_2+2q_3y_1)v-q_3.$$
8. Sea la ecuación de Riccati $\frac{dw}{dx}=q_1(x)+q_2(x)w+q_3(x)w^2$. Demuestre que la transformación $w=-y'/yq_2$ conduce a la ecuación lineal homogénea de segundo orden $$q_2(x)y''-[q_2'(x)+q_1(x)]y'+q_2'(x)q_0(x)y=0.$$
9. Demuestre que la la solución  general de $$y''+y=0$$ se puede expresar como $y=A_1\cos(x+\delta_1)$ o como $y=A_2\sin(x+\delta_2)$ donde $A_1$, $A_2$, $\delta_1$ y $\delta_2$ son constantes.
10. Sea la EDO $P(D)y=\cosh(ax)$ y $P(D)y=\sinh(ax)$ demostrar que $\frac{1}{P(D)}\cosh(ax)=\frac{P(-D)}{P(a)\cdot P(a)}\cosh(ax)$ y $\frac{1}{P(D)}\sinh(ax)=\frac{P(-D)}{P(a)\cdot P(a)}\sinh(ax)$ son soluciones respectivamente
11. Sea la EDO $P(D)y=\cos(ax)$ y $P(D)y=\sin(ax)$ demostrar que $\frac{1}{(D^2+a^2)^n}\cos(ax)=\frac{x^n}{(2a)^nn!}\cos(ax-\frac{n\pi}{2})$ y $\frac{1}{(D^2+a^2)^n}\sin(ax)=\frac{x^n}{(2a)^nn!}\sin(ax-\frac{n\pi}{2})$ son soluciones respectivamente.
12. Resuelva las EDOS mediante operadores diferenciales $(D^2-6D^2+9)y=2xe^{3x}+9x^2-3$  y $(D^3-6D^2+9D)y=x^3+e^x$.
13. Demuestre que si $$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$$ es una ecuación homogénea, entonces tiene a $$\mu(x,y)=\frac{1}{xM(x,y)+yM(x,y)}$$ es un factor integrante.
14. Considere la ecuación diferencial lineal no homogénea de $n$-esimo orden $$a_0y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\ldots+a_ny=g(x)$$ donde $a_0,a_1,\ldots a_n$ son constantes. Verifique que si $g(x)$ es de la forma $e^{\alpha x}(b_0x^m+\ldots +b_m)$ entonces la sustitución $y=e^{\alpha x}u(x)$ reduce la ecuacion anterior a la forma $$t_0u^{(n)}+t_1u^{(n-1)}+\ldots +t_nu=b_0x^m+\ldots +b_m,$$ donde $t_1,t_2,\ldots t_n$ son constantes.
15. Suponga que la función $f$ esta dada por $$f(x) =\begin{cases}x,  & \text{si $0\leq x<1$} \\1, & \text{si $t>1$}\end{cases}$$ a) encuentre $L[f]$. b) Resuelva el problema de valor inicial  $y''+4y=f(x)$, $y(0)=0$, $y'(0)=1$.
16. Determine la solución general de la ecuación $$y''+\lambda^2y=\sum_{m=1}^Na_m\sin m\pi x$$ donde $\lambda>0$ y $\lambda\neq m\pi,$ $m=1,2,\ldots, N$
17. Resuelva mediante Laplace las siguientes ecuaciones con condiciones iniciales 

• $y''-2y'+5y=0$, $y(0)=2,$ $y'(0)=4$.
• $3y'''+5y''+y'-y=0,$ $y(0)=0,$ $y'(0)=1,$ $y''(0)=-1$.
• $y''-5y'-6y'=e^{3x},$ $y(0)=2,$ $y'(0)=1$.
• $y''-y'-2y=5\sin x,$ $y(0)=1,$ $y'(0)=-1$.
• $y'''-2y''+y'=2e^{x}+2x,$ $y(0)=0,$ $y'(0)=0$ $y''(0)=0$.