CÓNICAS

VECTORES, RECTA Y CÍRCULO

Sea $\vec{a}=(a_1,a_2)$ entonces el vector escalado es $r\vec{a}\parallel\vec{a}$; el vector perpendicular a este es $\vec{a}^\perp=(-a_2,a_1)$ la norma del vector $\vec{a}$ es $\left\|a\right\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$ el vector unitario en la dirección de $\vec{a}$ es $\vec{\mu}=\frac{\vec{a}}{\left\|a\right\|}$ que es paralela a este. Dado dos puntos $P_1$ y $P_2$ estos definen un vector $\vec{P_1P_2}=P_2-P_1$. Los vectores en dirección de los ejes positivos son $i=(1,0)$ y $j=(0,1)$; cualquier vector se pueden expresar en términos de estos es decir $\vec{a}=(a_1,a_2)=a_1(1,0)+a_2(0,1)=a_1i+a_2j$. De acuerdo al ángulo de inclinación del vector se tiene la siguiente representación $\vec{a}=\left\|\vec{a}\right\|(\cos\theta,\sin\theta)$.

Dos vectores son ortogonales ($\vec{a}\perp\vec{b}$) si $\left|\vec{a}-\vec{b}\right|=\left|\vec{a}+\vec{b}\right|$ y verifican

• $\left|\vec{b}\right|^2+\left|\vec{b}\right|^2+=\left|\vec{a}+\vec{b}\right|^2$
• $\vec{a}\vec{b}=0$
• $\vec{a}\parallel\vec{b}^\perp$

$\vec{a}$ y $\vec{b}$ son LI si y solo si $r\vec{a}+s\vec{b}=0$ implica $r=0$ y $s=0$.

La proyeccion de $\vec{a}$ sobre $\vec{b}$ es otro vector $\text{Proy}_{\vec{b}}\vec{a}$

$\vec{a}=\text{Proy}_{\vec{b}}\vec{a}+\text{Proy}_{\vec{b}^\perp}\vec{a}$ si hacemos $\vec{a}=p\vec{b}+q\vec{b}^\perp$ entonces $q=\frac{\vec{a}\vec{b}}{\left\|\vec{b}\right\|^2}$ y $p=\frac{\vec{a}\vec{b}^\perp}{\left\|\vec{b}\right\|^2}$ pues $\left\|\vec{b}\right\|=\left\|\vec{b}^\perp\right\|$ entonces  $\text{Proy}_{\vec{b}}\vec{a}=\frac{\vec{a}\vec{b}}{\left\|\vec{b}\right\|^2}\vec{b}=\frac{\vec{a}\vec{b}}{\left\|\vec{b}\right\|}\frac{\vec{b}}{\left\|\vec{b}\right\|}=\text{Cp}_{\vec{b}}\vec{a}\frac{\vec{b}}{\left\|\vec{b}\right\|}$; $\text{Cp}_{\vec{b}}\vec{a}=\frac{\vec{a}\vec{b}}{\left\|\vec{b}\right\|}$ recibe el nombre de componente de $\vec{a}$ en la dirección de $\vec{b}$

Dado $P_0$ y un vector $\vec{a}$ entonces la recta se define como el conjunto de puntos $\mathcal{L}=\left\{P\in \rm I\! R^2/P=P_0+t\vec{a};\: t\in\rm I\! R\right\}$ que recibe el nombre de ecuación vectorial de la recta. $P\in\mathcal{L}\iff (P-P_0)\cdot\vec{a}^\perp=0$. De la ecuación vectorial de la recta se tiene si $P=(x.y)$; $P_0=(x_0,y_0)$ y $\vec{a}=(a_1,a_2)$ se tiene la ecuación paramétrica de la recta. $x=x_0+ta_1$; $y=y_0+ta_2$ de esto se obtiene la ecuación simétrica de la recta $$\frac{x-x_0}{a_1}=\frac{y-y_0}{a_2}.$$ Sea $\vec{n}=(a,b)=\vec{a}^\perp$ entonces se tiene que si $P\in \mathcal{L}$ entonces $(P-P_0)\cdot \vec{n}=0$ pues son perpendicualres; entonces $P\cdot \vec{n}=P_0\cdot \vec{n}\iff ax+by=-c\implies ax+by+c=0$ que recibe el nombre de ecuación general de la recta. Sea $Q=(x_1,y_1)$ un punto exterior a $\mathcal{L}$ entonces la distancia de $Q$ a $\mathcal{L}$ se define como

$$\begin{align*}d[Q;\mathcal{L}] & =\left|\text{Cp}_{\vec{n}}(Q-P_0)\right| \\ & =\left|\frac{(Q-P_0)\cdot\vec{n}}{\left|\vec{n}\right|}\right| \\ & =\left|\frac{Q\cdot\vec{n}-P_0\cdot\vec{n}}{\left|\vec{n}\right|}\right| \\ & =\frac{\left|ax_1+by_1+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{align*}$$

Sean $\mathcal{L}_1$ y $\mathcal{L}_2$ dos rectas; con vectores directores $\vec{a}=(a_1,a_2)$ y $\vec{b}=(b_1,b_2)$ respectivamente; entonces $\mathcal{L}_1\cap\mathcal{L}_2=(d_1,d_2)$ donde $d_1$ y  $d_2$ satisfacen el sistema generado por las ecuaciones generales de $\mathcal{L}_1$ y $\mathcal{L}_2$; $a_1x+a_1y+k_1=0$ y $b_1x+b_1y+k_2=0$.

La pendiente de una recta se deduce de su vector director es decir si $\vec{a}=(a_1,a_2)$ entonces $m=\frac{a_2}{a_1}$; de esto se deduce $\vec{a}=(a_1,a_2)=a_1(1,\frac{a_2}{a_1})=a_1(1,m)$. El angulo generado por las $\mathcal{L}_1$ con pendiente $m_1$ y $\mathcal{L}_2$ con pendiente $m_1$; está dada por $\theta=\arctan\left(\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right)$.

El círculo se define como el conjunto de punto $P=(x,y)$ que satisfacen la ecuación $$\left \|P-C\right\|=r$$ $r>0$ es el radio,  $C=(h,k)$ es el centro entonces la ecuación del círculo es $$\left \|P-C\right\|=r\iff (x-h)^2+(y-k)^2=r^2.$$

La ecuación de la recta tangente en $P_0=(x_0,y_0)$ ($P=P_0$ en el gráfico) está dada por $$(Q-P_0)\cdot(P_0-C)=0$$ donde $Q=(x,y)\neq P$ cualquiera; entonces $$(Q-P_0)\cdot(P_0-C)=0\iff  (x-x_0,y-y_0)(x_0-h,y_0-k)=0$$ lo cual es equivalente a $$(x-h)(x_0-h)+(x-k)(y_0-k)=r^2$$

PARÁBOLA

Sean la recta $\mathcal{L}$  y el punto $F$ fijos; los puntos $P$ que satisfacen $$d\left[P;F\right]=d\left[P;\mathcal{L}\right]=\left|p\right|$$ la excentricidad es el cociente de estas dos distancias igual a $1$.

$\mathcal{L}$ es  la  recta directriz cuya ecuación es $x'=-p$;  $F$ es el foco; $V=(h,k)$  vértice, $p$ parámetro de la parábola ; $RR'$ lado recto de la parábola.

$P=(x,y)=V+x'\vec{u}+y'\vec{u}^\perp$ $x'=[(x,y)-V]\vec{u}$ y $y'=[(x,y)-V]\vec{u}^\perp$
$\mathcal{L}=\left\{Q/Q=(V-p\vec{u})+t\vec{u}^\perp,\:t\in \rm I\! R\right\}$; $F=V+p\vec{u}$ luego $$d[P;\mathcal{L}]=\left|\text{Cp}_{\vec{u}}\vec{PQ}\right|=\left|(Q-P)\cdot\vec{u}\right|=\left|x'+p\right|$$
$$d[P;F]=\left|P-F\right|=\left|(x'-p)\vec{u}+y'\vec{u}^\perp\right|$$ por lo tanto
$$\begin{align*} d\left[P;F\right]^2=d\left[P;\mathcal{L}\right]^2 & \implies \left|(x'+p)\vec{u}+y'\vec{u}^\perp\right|^2=\left|x'+p\right|^2 \\ &\implies (x'-p)^2+y'^2=(x'+p)^2\\ &\implies y'^2=4px' \end{align*}$$
De este modo $P\in\mathcal{P}$ si $P$ satisface la ecuacion vectorial $$P=(x,y)=V+x'\vec{u}+y'\vec{u}^\perp;\: \text{donde } y'^2=4px'; \:\left|\vec{u}\right|=1$$
Cuando el eje es paralelo al eje $x$; $\vec{u}=i=(1,0)$ entonces $(x,y)=V+x'\vec{u}+y'\vec{u}^\perp=(h+x',k+y')\implies x'=x-h$ y $y'=y-k$ en $y'^2=4px'$ resulta $(y-k)^2=4p(x-h)$ ($y^2=4px$ si $V$ está en el origen); entonces $F=V+p\vec{u}=(h+p,k)$; $\mathcal{L}: x=h-p$. Si $p<1$ la parábola se invierte simétricamente a la directriz.
Cuando el eje es paralelo al eje $y$; $\vec{u}=j=(0,1)$ entonces $(x,y)=V+x'\vec{u}+y'\vec{u}^\perp=(h-y',k+x')\implies x'=y-k$ y $y'=h-x$ en $y'^2=4px'$ resulta $(x-h)^2=4p(y-k)$ ($x^2=4py$ si $V$ está en el origen); entonces $F=V+p\vec{u}=(h,k+p)$; $\mathcal{L}: x=k-p$. Si $p<1$ la parábola se invierte simétricamente a la directriz.
La ecuación de la recta tangente a $y^2=4px$ en el punto $P_0=(x_0,y_0)$ está dada por $y=\frac{2p}{y_0}(x+x_0)$ y la ecuación de la recta tangente a $(y-k)^2=4p(x-h)$ en el punto $P_0=(x_0,y_0)$ está dada por $(y_0-k)(x_0-k)=4p\left[\left(\frac{x+x_0}{2}-h\right)\right]$ similarmente la ecuación de la recta tangente a $(x-h)^2=4p(y-k)$ en el punto $P_0=(x_0,y_0)$ está dada por $(x_0-h)(x_0-h)=4p\left[\left(\frac{y+y_0}{2}-h\right)\right]$.

ELIPSE

Dados dos puntos distintos $F_1$ y $F_2$ llamados focos; la elipse $\mathcal{E}$ es el conjunto formado por  los puntos $P$ que satisfacen la ecuacion   $$\left|P-F_1\right|+\left|P-F_2\right|=2a.$$
$C=(h,k)$ es el centro de la elipse; $x'$ eje focal, $V_1$ y $V_2$ son los vértices de la elipse; $\overline{V_1V_2}$ el eje mayor $\overline{RR'}$ el lado recto; $\overline{B_1B_2}$ el eje menor de longitud $2b$. En el sistema $x'y'$ se tiene $B_1=(0,b)'$; $B_2=(0,-b)'$; $F_1=(-c,0)'$; $F_2=(c,0)'$  y $C=(0,0)'$. 

La excentricidad $e$ se define como

$$\frac{d\left[P;F_1\right]}{d\left[P;\mathcal{L}_1\right]}=e=\frac{d\left[P;F_2\right]}{d\left[P;\mathcal{L}_2\right]}$$

$d\left[B_i;F_1\right]=d\left[B_i;F_2\right]= a$ y $d\left[V_i;C\right]=d\left[V_i;C\right]=a$, $i=1,2$. $d\left[C;;\mathcal{L}_1\right]=d\left[C;\mathcal{L}_2\right]=\frac{a}{e}$ pues $\frac{d\left[B_i;F_1\right]}{d\left[B_i;\mathcal{L}_1\right]}=e\implies \frac{a}{d\left[B;\mathcal{L}_1\right]}=e$. Sea $c=d\left[P;F_1\right]=d\left[P;F_2\right]\implies c=ae$ pues $\frac{d\left[P;F_1\right]}{d\left[P;\mathcal{L}_1\right]}=e\implies \frac{a-c}{\frac{a}{e}-a}=e \implies c=ae$. $a>b$ y $a^2=b^2+c^2$; pues $a=d\left[B_1;F_2\right]=d\left[(0,b^2+c^2)';(c,0)'\right]^2=\sqrt{b}$; $0<e<1$ debido a que $0<e=\frac{a}{e}<1$ y $a>c>0$.
$P=(x,y)=C+x'\vec{u}+y'\vec{u}^\perp$; $x'=[(x,y)-C]\vec{u}$; $y'=[(x,y)-C]\vec{u}^\perp$
$F_1=C+c\vec{u}$ y $F_2=C-c\vec{u}$ entonces
$$\begin{align*} \left|P-F_1\right|+\left|P-F_2\right|&=\left|C+x'\vec{u}+y'\vec{u}^\perp-C+c\vec{u}\right|\\ &\quad+\left|C+x'\vec{u}+y'\vec{u}^\perp-C-c\vec{u}\right|\\ &=\sqrt{(x'+c)^2+y'^2}+\sqrt{(x'-c)^2+y'^2}=2a\end{align*}$$ por lo tanto resolviendo $\sqrt{(x'+c)^2+y'^2}+\sqrt{(x'-c)^2+y'^2}=2a$ resulta $(a^2-c^2)x'^2+ay'^2=a^2(a^2-c^2)\implies b^2x'^2+a^2y'^2=a^2b^2$
De este modo $P\in\mathcal{E}$ si $P$ satisface la ecuación vectorial $$P=(x,y)=V+x'\vec{u}+y'\vec{u}^\perp;\: \text{donde } \frac{x'^2}{a^2}+\frac{y'^2}{b^2}=1; \:\left|\vec{u}\right|=1$$

Cuando el eje es paralelo al eje $x$; $\vec{u}=i=(1,0)$ entonces $(x,y)=V+x'\vec{u}+y'\vec{u}^\perp=(h+x',k+y')\implies x'=x-h$ y $y'=y-k$ en $\frac{x'^2}{a^2}+\frac{y'^2}{b^2}=1$ resulta $\frac{(y-k)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$ ($\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ si $V$ está en el origen); entonces $F_1=C+c\vec{u}=(h+c,k)$; $\mathcal{L}_1: x=h+\frac{a}{e}$ y  $\mathcal{L}_2: x=h-\frac{a}{e}$.

Cuando el eje es paralelo al eje $y$; $\vec{u}=j=(0,1)$ entonces $(x,y)=V+x'\vec{u}+y'\vec{u}^\perp=(h-y',k+x')\implies x'=y-k$ y $y'=h-x$  en $\frac{x'^2}{a^2}+\frac{y'^2}{b^2}=1$ resulta $\frac{(y-k)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$ ($\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ si $V$ está en el origen); entonces $F_1=C+c\vec{u}=(h+c,k)$; $\mathcal{L}_1: x=k+\frac{a}{e}$ y  $\mathcal{L}_2: x=k-\frac{a}{e}$.

HIPÉRBOLA

Los puntos de un hipérbola  verifican la siguiente ecuación
$$\left|\left|P-F_1\right|+\left|P-F_1\right|\right|=2a$$
$C=(h,k)$ es el centro de la hipérbola; $V_1$ y $V_2$ son los vértices; $F_1$ y $F_2$ son los focos; $\overline{V_1V_2}$ es el eje transversal; $\overline{B_1B_2}$ es el eje conjugado; $x'$ es el eje focal
$$d\left[C;F_1\right]=d\left[C;F_2\right]=c$$
$F_1=(-c,0)$; $F_1=(c,0)$ en el sistema coordenado $x'y'$; $\mathcal{C}$ circunferencia con centro en $C$, radio $c$ que pasa por los focos.
$d\left[V_1;C\right]=d\left[V_2;C\right]=a$

$$\frac{d\left[P;F_1\right]}{d\left[P;\mathcal{L}_1\right]}=e=\frac{d\left[P;F_2\right]}{d\left[P;\mathcal{L}_2\right]}$$

$c=ae$; $d\left[C;\mathcal{L}_1\right]=d\left[C;\mathcal{L}_2\right]=\frac{a}{e}$ y $e>1$; en efecto $$\frac{d\left[R;F_1\right]}{d\left[R;\mathcal{L}_1\right]}=\frac{\frac{b^2}{a}}{c-d\left[C;\mathcal{L}_1\right]}=\frac{c^2-a^2}{a(c-d\left[C;\mathcal{L}_1\right])}$$

$$\frac{d\left[V_2;F_1\right]}{d\left[V_2;\mathcal{L}_1\right]}=\frac{c-a}{a-d\left[C;\mathcal{L}_2\right]}.$$

De la primera $$d\left[C;\mathcal{L}_2\right]=a-\frac{c-a}{e}\implies c-d\left[C;\mathcal{L}_2\right]=a-\frac{(c-a)(e+1)}{e}.$$

De la segunda ecuación $$c^2-a^2=ae\frac{(c-a)(e+1)}{e}\implies c+a=a(e+1)\implies c=ae$$ luego $d\left[C;\mathcal{L}_2\right]=a-\frac{(c-a)(ae+a)}{e}=\frac{a}{e}$ y el caso  $d\left[C;\mathcal{L}_1\right]$ es similar. Finalmente $e=\frac{c}{a}>1$ pues $0<a<c.$

$P=(x,y)=C+x'\vec{u}+y'\vec{u}^\perp$ $x'=[(x,y)-C]\vec{u}$ y $y'=[(x,y)-C]\vec{u}^\perp$

$F_1=C+c\vec{u}$ y $F_2=C-c\vec{u}$ tambien $V_1=C+a\vec{u}$ y $V_2=C-a\vec{u}$ entonces $$\frac{d\left[P;F_1\right]}{d\left[P;\mathcal{L}_1\right]}=e\iff d\left[P;F_1\right]^2=e^2d\left[P;\mathcal{L}_1\right]^2$$ haciendo uso de $c=ae$ y $c^2=a^2+b^2$ se tiene lo siguiente

$$(x'-c)^2+y'^2=e^2\left(x'-\left(\frac{a}{e}\right)\right)^2$$

$$(c^2-a^2) x'^2+a^2y'^2=a^2(c^2-a^2)$$

$$b^2x'^2-a^2y'^2=a^2b^2$$

De este modo $P\in\mathcal{H}$ si $P$ satisface la ecuación vectorial $$P=(x,y)=V+x'\vec{u}+y'\vec{u}^\perp;\: \text{donde } \frac{x'^2}{a^2}-\frac{y'^2}{b^2}=1; \:\left|\vec{u}\right|=1.$$

Cuando el eje es paralelo al eje $x$; $\vec{u}=i=(1,0)$ entonces $(x,y)=V+x'\vec{u}+y'\vec{u}^\perp=(h+x',k+y')\implies x'=x-h$ y $y'=y-k$ en $\frac{x'^2}{a^2}-\frac{y'^2}{b^2}=1$; resulta $\frac{(y-k)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$; ($\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$; si $V$ está en el origen); entonces $F_1=C+c\vec{u}=(h-\frac{a}{e},k)$ y $F_2=C+c\vec{u}=(h-\frac{a}{e},k)$; $\mathcal{L}_1: x=h-\frac{a}{e}$ y  $\mathcal{L}_2: x=h+\frac{a}{e}$ y las asíntotas de $y'=\pm\frac{a}{b}x'$ se convierte en  $(y-k)=\pm\frac{a}{b}(x-h)$.

Cuando el eje es paralelo al eje $y$; $\vec{u}=j=(0,1)$ entonces $(x,y)=V+x'\vec{u}+y'\vec{u}^\perp=(h-y',k+x')\implies x'=y-k$ y $y'=h-x$  en $\frac{x'^2}{a^2}-\frac{y'^2}{b^2}=1$; resulta $\frac{(y-k)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$; ($\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$; si $V$ está en el origen); entonces $F_1=C+c\vec{u}=(h+c,k)$; $\mathcal{L}_1: x=k+\frac{a}{e}$ y  $\mathcal{L}_2: x=k-\frac{a}{e}$ y las asíntotas de $y'=\pm\frac{b}{a}x'$ se convierte en  $(y-k)=\pm\frac{b}{a}(x-h)$.